111學測數學B選填第16題詳解

設藍、綠、黃球數分別為 $b,g,y$，則 $b+g+y=10$。 因為從 $10$ 球取 $2$ 球的組合數為 $C^{10}_2=45$，且兩顆皆為藍色的機率為 $\frac{1}{15}=\frac{3}{45}$，所以 $C^b_2=3$，解得 $b=3$。 同理，兩顆皆為綠色的機率為 $\frac{2}{9}=\frac{10}{45}$，所以 $C^g_2=10$，解得 $g=5$。 因此 $y=10-3-5=2$。 兩球同色的機率為 $\frac{C^3_2+C^5_2+C^2_2}{45}=\frac{3+10+1}{45}=\frac{14}{45}$，故相異色的機率為 $1-\frac{14}{45}=\frac{31}{45}$。 故填 $\frac{31}{45}$。