111學測數學B選填第17題詳解

因為老師固定在正中間（第 $4$ 位），六位學生排在左右各三個位置。 不考慮限制時，全部學生排列數為 $6!=720$。三位男生全在老師左側：左三位為男生（$3!$ 種）、右三位為女生（$3!$ 種），共 $3!\times 3!=36$ 種；同理，三位男生全在老師右側也是 $36$ 種。因此符合「三位男生不完全在老師同一側」的排列數為 $720-2\times 36=648$。 接著扣除指定一男一女相鄰的情形。因為老師隔開左右兩側，相鄰位置只可能出現在左側或右側。左右兩側各有 $2$ 組相鄰位置，共 $4$ 組；指定兩人在該相鄰位置的順序有 $2!$ 種，其餘四人任意排列有 $4!$ 種。因為該相鄰組本身即含一男一女，不會導致三位男生全在同一側，所以需扣除 $4\times 2\times 24=192$ 種。 因此所求為 $648-192=456$ 種。 故填 $456$。