108學測數學多選第9題詳解

從 $7$ 個數中任取兩數的取法共有 $C^7_2 = 21$ 種。 選項 $(1)$： 因為和大於 $10$ 的組合有 $(4,7)$、$(5,6)$、$(5,7)$、$(6,7)$ 共 $4$ 種，所以機率為 $\frac{4}{21} \neq \frac{1}{7}$。 選項 $(2)$： 因為和小於 $5$ 的組合有 $(1,2)$、$(1,3)$ 共 $2$ 種，所以機率為 $\frac{2}{21} \neq \frac{1}{7}$。 選項 $(3)$： 因為和為奇數需一奇一偶。奇數有 $\{1, 3, 5, 7\}$ 共 $4$ 個，偶數有 $\{2, 4, 6\}$ 共 $3$ 個，所以取法為 $C^4_1 \times C^3_1 = 12$ 種，機率為 $\frac{12}{21} = \frac{4}{7}$。 選項 $(4)$： 因為差為偶數表示兩數同為奇數或同為偶數。取法為 $C^4_2 + C^3_2 = 6 + 3 = 9$ 種，所以機率為 $\frac{9}{21} = \frac{3}{7} \neq \frac{5}{7}$。 選項 $(5)$： 因為積為奇數需兩數皆為奇數。取法為 $C^4_2 = 6$ 種，所以機率為 $\frac{6}{21} = \frac{2}{7}$。 故選 $(3)(5)$。