108學測數學多選第8題詳解

設甲的速率為 $v$，則乙的速率為 $av$，其中 $a > 1$。甲從 $-8$ 出發，乙從 $10$ 出發。 選項 $(1)$： 因為甲朝負向移動（向左），乙朝正向移動（向右），兩人背向而行，距離只會增加，所以不會相遇。 選項 $(2)$： 因為甲、乙皆朝負向移動，乙在甲的右側（$10 > -8$）且乙速率較大（$a > 1$），所以乙會從後方追上甲，必定相遇。 選項 $(3)$： 甲從 $-8$ 朝正向到原點需移動 $8$ 單位，時間 $t_{\text{甲}} = \frac{8}{v}$。 乙從 $10$ 朝負向到原點需移動 $10$ 單位，時間 $t_{\text{乙}} = \frac{10}{av}$。 因為當 $a = 1.1$ 時（滿足 $a > 1$），$t_{\text{乙}} = \frac{10}{1.1v} \approx \frac{9.09}{v} > \frac{8}{v} = t_{\text{甲}}$，所以甲可能先到原點。 選項 $(4)$： 因為甲、乙皆朝正向移動，乙在甲右側且速率較大，所以兩者之間的距離會越來越大。 選項 $(5)$： 因為在點 $-2$ 相遇，甲從 $-8$ 朝正向移動到 $-2$，距離為 $|-2 - (-8)| = 6$；乙從 $10$ 朝負向移動到 $-2$，距離為 $|-2 - 10| = 12$。 因為相同時間內移動距離比等於速率比，所以 $\frac{av}{v} = \frac{12}{6} \implies a = 2$。 故選 $(4)(5)$。