108學測數學多選第7題詳解

等差數列 $\langle a_n \rangle$ 的公差為 $\alpha > 0$，即 $a_{n+1} - a_n = \alpha$。\ 我們逐一分析各選項： (1) 正確：$b_{n+1} - b_n = -a_{n+1} - (-a_n) = -(a_{n+1} - a_n) = -\alpha$。因為 $\alpha > 0$，故公差 $-\alpha < 0$，數列遞減，即 $b_1 > b_2 > b_3 > \dots$。 (2) 錯誤：若 $a_n$ 含有負數，平方後不一定遞增。例如：$\langle a_n \rangle = -2, -1, 0, 1, \dots$，則 $\langle c_n \rangle = 4, 1, 0, 1, \dots$ 非遞增。 (3) 錯誤：$d_{n+1} - d_n = (a_{n+1} + a_{n+2}) - (a_n + a_{n+1}) = a_{n+2} - a_n = 2\alpha$，故其公差為 $2\alpha$。 (4) 正確：$e_{n+1} - e_n = (a_{n+1} + n + 1) - (a_n + n) = (a_{n+1} - a_n) + 1 = \alpha + 1$，為公差 $\alpha + 1$ 的等差數列。 (5) 錯誤：等差數列前 $n$ 項的算術平均數為 $f_n = \frac{n a_1 + \frac{n(n-1)}{2}\alpha}{n} = a_1 + \frac{n-1}{2}\alpha$。\ 則 $f_{n+1} - f_n = \left(a_1 + \frac{n}{2}\alpha\right) - \left(a_1 + \frac{n-1}{2}\alpha\right) = \frac{\alpha}{2}$，公差為 $\frac{\alpha}{2}$。 故選(1)(4)。