106學測數學選填第17題詳解

因為 $a_1,a_2,\ldots,a_9$ 為等差數列，所以滿足 $a_n - a_{n-1} = d$（公差）。 觀察方程組的係數矩陣各列： 第一列係數：$(a_1,\,-a_2,\,2a_3)$； 第二列係數：$(a_4,\,-a_5,\,2a_6)$； 第三列係數：$(a_7,\,-a_8,\,2a_9)$。 因為等差性質，所以有： - $a_1 + a_7 = 2a_4$ - $-a_2 + (-a_8) = 2(-a_5)$ - $2a_3 + 2a_9 = 2(2a_6)$ 這代表係數矩陣的第一列與第三列之和，恰為第二列的兩倍。 對於方程組有解，其常數項必須滿足相同的線性組合限制，否則消去法後會得到 $0 = C \ne 0$ 的矛盾（無解）。 因此常數項必須滿足： $$(k+1) + (k+9) = 2(-k-5).$$ 化簡得 $2k + 10 = -2k - 10 \implies 4k = -20 \implies k = -5$。 故 $k = -5$。