106學測數學選填第18題詳解

首先將給定的對數值進行化簡以求得 $a$ 與 $b$ 的值： 1. 化簡 $\log a$： $$\log a = 1 + 2\log 3 - \log 2 = \log 10 + \log 9 - \log 2 = \log\Bigl(\frac{10 \times 9}{2}\Bigr) = \log 45 \implies a = 45.$$ 2. 化簡 $\log b$： $$\log b = 4\log 2 + \log 3 = \log 16 + \log 3 = \log(16 \times 3) = \log 48 \implies b = 48.$$ 3. 驗證已知條件： $$b - a = 48 - 45 = 3\text{（符合）}.$$ 因為 $a \le x \le b$ 且 $x$ 為正整數，所以 $x$ 位於 $45$ 到 $48$ 之間。 根據對數的線性插值，$\log x \approx \frac{1}{3}\log 45 + \frac{2}{3}\log 48$。 由於分點比例中，對應 $48$ 的權重為 $\frac{2}{3}$，代表此點落在區間 $[45,48]$ 自 $45$ 起三分之二的位置， 即 $45 + \frac{2}{3}(48-45) = 47$。 故 $x = 47$。