109學測數學單選第5題詳解

設整數點坐標為 $x$。 1. 先處理 $|x-\sqrt{101}|<5$： 因為 $10^2=100<101<121=11^2$，所以 $10<\sqrt{101}<11$。 由 $|x-\sqrt{101}|<5$ 得 $\sqrt{101}-5<x<\sqrt{101}+5$。 因為 $\sqrt{101}>10$，所以 $\sqrt{101}-5>5$，故 $x\ge 6$。 因為 $\sqrt{101}<11$，所以 $\sqrt{101}+5<16$，故 $x\le 15$。 因此滿足第一個條件的整數為 $x\in\{6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\}$。 2. 再處理 $|x-\sqrt{38}|>3$： 因為 $6^2=36<38<49=7^2$，所以 $6<\sqrt{38}<7$。 由 $|x-\sqrt{38}|>3$ 得 $x>\sqrt{38}+3$ 或 $x<\sqrt{38}-3$。 因為 $\sqrt{38}>6$，所以 $\sqrt{38}+3>9$，故 $x\ge 10$。 因為 $\sqrt{38}<7$，所以 $\sqrt{38}-3<4$，故 $x\le 3$。 3. 與第一步的集合取交集：$\{6,\ldots,15\}\cap(\{x\le 3\}\cup\{x\ge 10\})=\{10,11,12,13,14,15\}$，共 $6$ 個整數點。 故選 $(3)$。