109學測數學單選第6題詳解

1. 化簡條件：因為 $\log(a^2)+\log b=\log(a^2b)$（對數律），且 $\log(a^2b)>1=\log 10$（此處 $\log$ 為常用對數，底為 $10$），因為對數函數為嚴格遞增，所以 $a^2b>10$。 2. 計數滿足 $a^2b>10$ 且 $a,b\in\{1,2,3,4,5,6\}$ 的序對 $(a,b)$： 當 $a=1$ 時，$1^2\cdot b=b>10$ 無解（$b\le 6$），共 $0$ 種。 當 $a=2$ 時，$4b>10$ 得 $b>2.5$，故 $b=3,4,5,6$，共 $4$ 種。 當 $a=3$ 時，$9b>10$ 得 $b>\frac{10}{9}$，故 $b=2,3,4,5,6$，共 $5$ 種。 當 $a=4$ 時，$16b>10$ 得 $b>\frac{5}{8}$，故 $b=1,2,3,4,5,6$，共 $6$ 種。 當 $a=5$ 時，$25b>10$ 得 $b>\frac{2}{5}$，故 $b=1,\ldots,6$，共 $6$ 種。 當 $a=6$ 時，$36b>10$ 得 $b>\frac{5}{18}$，故 $b=1,\ldots,6$，共 $6$ 種。 合計有利情形 $0+4+5+6+6+6=27$ 種。 3. 總樣本數為 $6\times 6=36$，因為骰子公正，所以機率 $P=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}$。 故選 $(4)$。