85大學聯考數學（社會組）多選第3題詳解

係數矩陣為 $$A=\begin{bmatrix} a & 1 & \dfrac{1}{a} \\ 1 & a & 1 \\ \dfrac{1}{a} & 1 & a \end{bmatrix}$$ 其行列式為 $$\Delta = a\left(a^2-1\right)-\left(a-\dfrac{1}{a}\right) = a^3-2a+\dfrac{1}{a}=\dfrac{(a^2-1)^2}{a}$$ 因為 $a \ne 0$，所以只有 $a=1$ 或 $a=-1$ 時 $\Delta=0$；其餘情形皆恰有一組解。 $(1)$ 錯誤：當 $a=3$ 時，$\Delta \ne 0$，方程式組恰有一組解。 $(2)$ 錯誤：當 $a=1$ 時，方程式組為 $$\begin{cases} x+y+z=1 \\ x+y+z=-1 \\ x+y+z=1 \end{cases}$$ 同一左式不可能同時等於 $1$ 與 $-1$，故無解。 $(3)$ 正確：當 $a=\dfrac{1}{2}$ 時，$\Delta \ne 0$，方程式組恰有一組解。 $(4)$ 正確：當 $a=-1$ 時，方程式組為 $$\begin{cases} -x+y-z=1 \\ x-y+z=-1 \\ -x+y-z=1 \end{cases}$$ 其中第二式等價於 $-x+y-z=1$，三式表示同一平面，故有無限多組解。 $(5)$ 錯誤：當 $a=-4$ 時，$\Delta \ne 0$，方程式組恰有一組解。 所以正確選項為 $(3)(4)$。