84大學聯考數學（社會組）選填第9題詳解

三元一次方程組若有兩組以上的解，代表該方程組有無限多組解，此時其係數行列式 $\Delta$ 必須為 $0$： $$\Delta = \begin{vmatrix} 1-\alpha & 7 & 0 \\ 1 & 1 & \alpha \\ 0 & 2\alpha & 1 \end{vmatrix} = 2\alpha^3 - 2\alpha^2 - \alpha - 6 = 0$$ 因式分解得 $(\alpha-2)(2\alpha^2+2\alpha+3) = 0$。因為 $2\alpha^2+2\alpha+3 = 0$ 的判別式小於 $0$，故 $\alpha = 2$。 將 $\alpha=2$ 代回原方程組得： $$\begin{cases} -x+7y=1 \\ x+y+2z=\beta \\ 4y+z=0 \end{cases}$$ 將 third 式 $z=-4y$ 代入第二式得 $x-7y=\beta$。與第一式 $-x+7y=1 \implies x-7y=-1$ 比較，要使系統有解（無限多解），兩直線必須重合，因此： $$\beta = -1$$