84大學聯考數學（社會組）選填第5題詳解

由 $C^{n}_{k-1} : C^{n}_{k} = 1:2$，即 $$\dfrac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} : \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = 1:2$$ 約分後得： $$\dfrac{1}{n-k+1} : \dfrac{1}{k} = 1:2 \implies n = 3k - 1 \ \text{--- （式1）}$$ 由 $C^{n}_{k} : C^{n}_{k+1} = 2:3$，即 $$\dfrac{n!}{k!(n-k)!} : \dfrac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} = 2:3$$ 約分後得： $$\dfrac{1}{n-k} : \dfrac{1}{k+1} = 2:3 \implies 2n = 5k + 3 \ \text{--- （式2）}$$ 將（式1）代入（式2）得： $$2(3k-1) = 5k+3 \implies k=5$$ 代回（式1）得： $$n = 14$$