84大學聯考數學（社會組）選填第10題詳解

設平面 $E$ 交正 $x$ 軸於 $A(a,0,0)$，交正 $y$ 軸於 $B(0,b,0)$。由 $\overline{CA}=\overline{CB}$ 且 $C(0,0,1)$ 得 $a=b$。 因此 $A(a,0,0)$，$B(0,a,0)$。向量為： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (-a, a, 0), \ \overset{\large\rightharpoonup}{AC} = (-a, 0, 1)$$ 外積為： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \times \overset{\large\rightharpoonup}{AC} = (a, a, a^2)$$ 外積的長度為 $\sqrt{2a^2+a^4}$。面積為： $$\text{面積} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2a^2 + a^4} = \dfrac{3\sqrt{7}}{2} \implies a^4 + 2a^2 - 63 = 0 \implies a^2 = 7 \implies a = \sqrt{7}$$ 故 $A$ 點坐標為 $(\sqrt{7}, 0, 0)$。 平面 $E$ 的法向量為 $(\sqrt{7}, \sqrt{7}, 7) \propto (1, 1, \sqrt{7})$。單位法向量為： $$\pm \dfrac{(1, 1, \sqrt{7})}{\sqrt{1^2+1^2+(\sqrt{7})^2}} = \pm \left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{\sqrt{7}}{3}\right)$$