1. 因為 $E_1: x+y+2z=2$ 的法向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1=(1,1,2)$、$E_2: 2x-y+z=1$ 的法向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_2=(2,-1,1)$，而交線 $L$ 同時落在兩平面上，所以 $L$ 與這兩個法向量都垂直。
2. 因為兩向量的外積同時垂直於它們，所以
$$\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1\times \overset{\large\rightharpoonup}{n}_2=(1\cdot 1-2\cdot(-1),\; 2\cdot 2-1\cdot 1,\; 1\cdot(-1)-1\cdot 2)=(3,3,-3),$$
故 $L$ 的方向向量可取 $(1,1,-1)$。
3. 因為 $L_3$ 的參數式為 $x=3+t$、$y=-2-t$、$z=2+3t$，所以其方向向量為 $(1,-1,3)$，且取 $t=0$ 得 $L_3$ 上一點 $(3,-2,2)$。
4. 因為 $E_3$ 與 $L$ 平行且包含 $L_3$，所以 $E_3$ 同時平行於 $(1,1,-1)$ 與 $(1,-1,3)$，其法向量可取這兩個向量的外積：
$$(1,1,-1)\times(1,-1,3)=(1\cdot 3-(-1)\cdot(-1),\; (-1)\cdot 1-1\cdot 3,\; 1\cdot(-1)-1\cdot 1)=(2,-4,-2),$$
化簡後取 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_3=(1,-2,-1)$。
5. 因為 $E_3$ 的法向量為 $(1,-2,-1)$ 且通過點 $(3,-2,2)$，所以常數項為 $3-2\cdot(-2)-2=5$。
故 $E_3: x-2y-z=5$。