115分科測驗數學甲非選第17題詳解

1. 因為由前兩題得三平面的法向量依序為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1=(1,1,2)$、$\overset{\large\rightharpoonup}{n}_2=(2,-1,1)$、$\overset{\large\rightharpoonup}{n}_3=(1,-2,-1)$，而平面 $E$ 與三平面皆垂直，所以 $E$ 的法向量必須同時垂直於這三個法向量。 2. 因為 $(1,1,-1)\cdot \overset{\large\rightharpoonup}{n}_1=1+1-2=0$、$(1,1,-1)\cdot \overset{\large\rightharpoonup}{n}_2=2-1-1=0$、$(1,1,-1)\cdot \overset{\large\rightharpoonup}{n}_3=1-2+1=0$，所以可取 $E$ 的法向量為 $(1,1,-1)$，即 $E: x+y-z=k$。 3. 因為改變 $k$ 只是把 $E$ 沿法線方向平行移動，三條交線隨之平移而相對位置不變，所圍三角形只是全等的平移，所以邊長與 $k$ 無關，取 $k=0$ 計算即可。 4. $\Gamma$ 的三個頂點分別是 $E$ 與其中兩個平面的公共點。以頂點 $A$ 為例，聯立 $x+y+2z=2$、$2x-y+z=1$ 與 $x+y-z=0$：因為第一式減第三式得 $3z=2$，所以 $z=\frac{2}{3}$；代回第三式得 $x+y=\frac{2}{3}$，代回第二式得 $2x-y=\frac{1}{3}$，兩式相加得 $3x=1$，所以 $A=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$。同法解得 $E_1$、$E_3$、$E$ 的公共點 $B=\left(\frac{7}{3},-\frac{5}{3},\frac{2}{3}\right)$，以及 $E_2$、$E_3$、$E$ 的公共點 $C=\left(\frac{1}{3},-\frac{5}{3},-\frac{4}{3}\right)$。 5. 因為兩點距離的平方等於各坐標差的平方和，所以 $$\overline{AB}^2=\left(\dfrac{7}{3}-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{3}\right)^2+0^2=4+4=8,$$ $$\overline{AC}^2=0^2+\left(-\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}\right)^2=4+4=8,$$ $$\overline{BC}^2=\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{7}{3}\right)^2+0^2+\left(-\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}\right)^2=4+4=8.$$ 6. 因為 $\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{BC}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，三邊等長，所以 $\Gamma$ 為正三角形。 故 $\Gamma$ 為正三角形，其邊長為 $2\sqrt{2}$。