84大學聯考數學（社會組）選填第8題詳解

設 $A(4,2)$，$B(1,-5)$。由於圓 $C$ 通過 $A$、$B$ 兩點，圓心必在線段 $\overline{AB}$ 的垂直平分線上。 線段 $\overline{AB}$ 的中點為： $$M=(\frac{5}{2},-\frac{3}{2})$$ 線段 $\overline{AB}$ 的斜率為 $\dfrac{7}{3}$，垂直平分線的方程式為： $$3x + 7y = -3$$ 又圓心在直線 $x-3y-7=0$ 上，聯立此兩方程式： $$\begin{cases} 3x + 7y = -3 \\ x - 3y = 7 \end{cases} \implies \begin{cases} x = \dfrac{5}{2} \\ y = -\dfrac{3}{2} \end{cases}$$ 得圓心為 $\left(\dfrac{5}{2}, -\dfrac{3}{2}\right)$。 圓的半徑 $r$ 為圓心到 $A$ 點的距離： $$r = \sqrt{\left(\dfrac{5}{2}-4\right)^2 + \left(-\dfrac{3}{2}-2\right)^2} = \dfrac{\sqrt{58}}{2}$$