83大學聯考數學（社會組）非選第15題詳解

解法一（幾何中垂線交點法）： 1. 因為 $P(k,0)$ 與 $Q(2,0)$ 的中點為 $(\frac{k+2}{2}, 0)$， 所以弦 $\overline{PQ}$ 的中垂線方程式為： $$x = \frac{k+2}{2} \tag{式1}$$ $R(0,1)$ 與 $Q(2,0)$ 的中點為 $(1, \frac{1}{2})$。直線 $RQ$ 的斜率為： $$m_{RQ} = \frac{0-1}{2-0} = -\frac{1}{2}$$ 故弦 $\overline{RQ}$ 的中垂線斜率為 $2$，其中垂線方程式為： $$y - \frac{1}{2} = 2(x - 1) \implies y = 2x - \frac{3}{2} \tag{式2}$$ 2. 圓心 $S$ 為此兩中垂線的交點，將式（式1）代入式（式2）： $$y = 2(\frac{k+2}{2}) - \frac{3}{2} = k + \frac{1}{2}$$ 開括號得圓心坐標為 $S(\frac{k+2}{2}, \frac{2k+1}{2})$。 因為圓在點 $P(k,0)$ 的切線斜率為 $1$，且圓心與切點的連線 $\overline{SP}$ 必垂直於此切線， 故直線 $SP$ 的斜率必為 $-1$： $$m_{SP} = \frac{\frac{2k+1}{2} - 0}{\frac{k+2}{2} - k} = -1$$ $$\frac{2k+1}{2-k} = -1 \implies 2k+1 = k-2 \implies k = -3$$ 將 $k = -3$ 代回圓心坐標 $S$，可得圓心為： $$S(\frac{-3+2}{2}, \frac{2(-3)+1}{2}) = (-\frac{1}{2}, -\frac{5}{2})$$ 答：$k = -3$，圓心坐標為 $(-\frac{1}{2}, -\frac{5}{2})$。