85大學聯考數學（社會組）選填第6題詳解

可以使用以下兩種方法求解： 設拋物線上的動點為 $P(t^2, 4t)$，該點到直線 $4x-3y+24=0$ 的距離為： $$d(P, L) = \frac{|4t^2 - 12t + 24|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{4\left(t - \frac{3}{2}\right)^2 + 15}{5}$$ 因為 $4\left(t-\frac{3}{2}\right)^2\ge 0$，所以當 $t = \frac{3}{2}$ 時，距離 $d(P, L)$ 有最小值 $\frac{15}{5} = 3$，此時該點的坐標為： $$\left(t^2, 4t\right) = \left(\frac{9}{4}, 6\right)$$ 另解 設平行於直線且與拋物線相切的切線為 $L': 4x-3y-k=0 \implies 4x=k+3y$。 將其代回拋物線方程式 $y^2 = 4(4x)$ 得： $$y^2 = 4(k+3y) \implies y^2 - 12y - 4k = 0$$ 因為相切，判別式 $\Delta = 0$： $$\Delta = (-12)^2 - 4(1)(-4k) = 144 + 16k = 0 \implies k = -9$$ 代回得 $y^2 - 12y + 36 = 0 \implies y = 6$，代入拋物線方程得 $x = \frac{y^2}{16} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$。故所求點坐標為 $\left(\frac{9}{4}, 6\right)$。