85大學聯考數學（社會組）選填第7題詳解

兩平面的交線方程式即為平面 $E_1: x+y+z=1$ 與平面 $E_2: 2x+2y+z=1$ 的交線 $L$。 圓 $S$ 上的點 $P、Q$ 同時在球面上，也在此交線 $L$ 上。因此 $\overline{PQ}$ 即為球面與交線 $L$ 相交的弦長。 1. 交線 $L$ 的方向向量為： $$\overset{\large\rightharpoonup}{u} = \overset{\large\rightharpoonup}{n}_1 \times \overset{\large\rightharpoonup}{n}_2 = (1,1,1) \times (2,2,1) = (-1,1,0)$$ 2. 取交線 $L$ 上的一點 $A(0,0,1)$。 3. 球心 $O(0,0,0)$ 到交線 $L$ 的垂直距離 $d$ 滿足： $$d^2 = |\overset{\large\rightharpoonup}{OA}|^2 - \left( \frac{\overset{\large\rightharpoonup}{OA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{u}}{|\overset{\large\rightharpoonup}{u}|} \right)^2 = 1^2 - 0 = 1 \implies d = 1$$ 4. 因為 $P, Q$ 在球面上，故 $OP = OQ = R = 2$。 因此，弦長 $\overline{PQ}$ 為： $$\overline{PQ} = 2 \sqrt{R^2 - d^2} = 2 \sqrt{2^2 - 1^2} = 2\sqrt{3}$$