86學測數學多選第11題詳解

分析各選項： - $(1)$ 標準跑道的內側是由兩條平行的直線性路段與兩端半圓形路段拼接而成，並非橢圓。 - $(2)$ 條件表示 $Q$ 在射線 $OP$ 方向上且距離 $P$ 為 $1$，即 $OQ = OP \pm 1$，對向徑增加或減少固定長度，所得軌跡一般不是橢圓。 - $(3)$ 因為 $O, P, Q$ 共線且 $\overline{PQ}=\overline{OP}$，表示 $Q$ 到中心的距離 $OQ = 2OP$。此時 $\Gamma$ 的軌跡是原橢圓 $M$ 以 $O$ 為中心相似放大 $2$ 倍的圖形，其方程式仍為橢圓方程式。此選項正確。 - $(4)$ 直圓柱面若被不平行於軸的平面截開，其交線為橢圓（當平面與軸垂直時為圓，圓是橢圓的一種特例）。此選項正確。 - $(5)$ 圖中平面 $E$ 截直圓錐面的一側且形成閉合曲線，依此頁圖所示截線為橢圓。此選項正確。 故正確答案為 $(3)(4)(5)$。