87學測數學選填第19題詳解

1. 設圓心為原點 $O(0,0)$。已知圓 $O$ 的半徑為 $6$，故 $OQ = 6$。因為 $P$ 位於 $FQ$ 的中垂線上，依中垂線性質有 $PF = PQ$。又 $P$ 為 $FQ$ 中垂線與線段 $OQ$ 的交點，即 $P$ 在線段 $OQ$ 上，所以 $$OP + PQ = OQ = 6 \implies OP + PF = 6$$ 2. 這表示動點 $P$ 到兩個定點 $O(0,0)$ 與 $F(4,0)$ 的距離和恆為常數 $6$。因為距離和 $6$ 大於兩定點的距離 $OF = 4$，所以點 $P$ 的軌跡為以 $O$ 與 $F$ 為兩焦點的橢圓。橢圓中心為 $O$ 與 $F$ 的中點，即 $(2,0)$；長軸長 $2a = 6$，所以 $a = 3$；焦距 $2c = 4$，所以 $c = 2$；短半軸長 $$b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5}.$$ 因此，動點 $P$ 的軌跡方程式為 $$\dfrac{(x-2)^2}{9} + \dfrac{y^2}{5} = 1.$$