87學測數學選填第18題詳解

1. 設 $f(x)$ 除以 $x^2+x+1$ 的餘式為 $R(x)=ax+b$。因為 $$x^2=1\cdot(x^2+x+1)-x-1,$$ 所以 \begin{aligned} (x+1)R(x)&=ax^2+(a+b)x+b\\ &=a(x^2+x+1)+bx+(b-a)。 \end{aligned} 2. 因此 $(x+1)R(x)$ 除以 $x^2+x+1$ 的餘式為 $bx+(b-a)$。比對題目給出的餘式 $5x+3$，得 $b=5$、$b-a=3$，所以 $a=2$，故餘式為 $R(x)=2x+5$。