87學測數學選填第20題詳解

1. 拉氏指數是以基期（民國 $70$ 年）的消費用量 $q_0$ 作為權數所計算的物價指數。民國 $70$ 年總費用為 $$\sum_{i} p_0 q_0 = 7.6 \times 45 + 49.0 \times 5 + 36.0 \times 0.5 + 5.6 \times 4 + 4.7 \times 3 + 25.0 \times 0.8$$ $$\sum_{i} p_0 q_0 = 342 + 245 + 18 + 22.4 + 14.1 + 20 = 661.5\text{ 元}$$ 民國 $76$ 年以相同用量計算的總費用為 $$\sum_{i} p_t q_0 = 16.0 \times 45 + 97.0 \times 5 + 74.0 \times 0.5 + 15.0 \times 4 + 13.0 \times 3 + 54.0 \times 0.8$$ $$\sum_{i} p_t q_0 = 720 + 485 + 37 + 60 + 39 + 43.2 = 1384.2\text{ 元}$$ 2. 民國 $76$ 年主要食品的費用比民國 $70$ 年高出的百分率為 $$\dfrac{\sum_i p_tq_0-\sum_i p_0q_0}{\sum_i p_0q_0}\times100\%=\dfrac{1384.2-661.5}{661.5}\times100\%=\dfrac{722.7}{661.5}\times100\%\approx109.25\%.$$ 四捨五入到整數百分率為 $109\%$。