詳解
在 $\Delta ABC$ 中，三邊長分別為 $\overline{BC} = 5$，$\overline{CA} = 4$，$\overline{AB} = 3$。
因為 $\overline{AB}^2 + \overline{CA}^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = \overline{BC}^2$，故 $\Delta ABC$ 為以 $\angle A = 90^\circ$ 的直角三角形。
設 $\angle ACB = \alpha$，則在直角三角形中：
$$\cos \alpha = \dfrac{\overline{CA}}{\overline{BC}} = \dfrac{4}{5}, \ \sin \alpha = \dfrac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \dfrac{3}{5}$$
因為 $BCDE$ 是以 $\overline{BC}$ 為一邊向外作出的正方形，所以 $\overline{CD} = \overline{BC} = 5$，且 $\angle BCD = 90^\circ$。
$(1)$ 求
由圖可知，$\angle ACD = \angle ACB + \angle BCD = \alpha + 90^\circ$。
利用誘導公式：
$$\cos(\angle ACD) = \cos(\alpha + 90^\circ) = -\sin \alpha = -\dfrac{3}{5}$$
$(2)$ 求
首先求出 $\sin(\angle ACD)$：
$$\sin(\angle ACD) = \sin(\alpha + 90^\circ) = \cos \alpha = \dfrac{4}{5}$$
利用三角形面積公式，$\Delta ACD$ 的面積為：
$$\text{面積} = \dfrac{1}{2} \times \overline{AC} \times \overline{CD} \times \sin(\angle ACD)$$
$$\text{面積} = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \dfrac{4}{5} = 8$$
直角三角形與正方形示意圖