88學測數學選填第20題詳解

垂直平分面的法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}$ 與線段的向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{PQ}$ 平行： $$\overset{\large\rightharpoonup}{PQ} = Q - P = (4-2, \ 5-1, \ 5-3) = (2, 4, 2) = 2(1, 2, 1)$$ 因此可取法向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n} = (1, 2, 1)$。 垂直平分面會通過 $\overline{PQ}$ 的中點 $M$： $$M = \frac{P + Q}{2} = \left(\frac{2+4}{2}, \ \frac{1+5}{2}, \ \frac{3+5}{2}\right) = (3, 3, 4)$$ 利用點法式可得垂直平分面方程式為： $$1(x - 3) + 2(y - 3) + 1(z - 4) = 0 \implies x + 2y + z - 13 = 0 \implies x + 2y + z = 13$$ 答：$1, 2, 1$。