89學測數學選填第14題詳解

因為直線 $L$ 與平面 $E: x+2y+3z=9$ 垂直，所以 $L$ 的方向向量平行於 $E$ 的法向量 $(1,2,3)$。 又所求之平面與直線 $L$ 垂直，故所求平面的法向量也平行於 $(1,2,3)$，故可設所求平面方程式為： $$x+2y+3z = k$$ 將通過點 $(2,-3,4)$ 代入方程式，得： $$2 + 2(-3) + 3(4) = 2 - 6 + 12 = 8 \implies k = 8$$ 因此平面方程式為 $x+2y+3z = 8$。答案格應填 $8$。