題目
設 $O(0,0,0)$ 為坐標空間中某長方體的一個頂點，且知 $(2,2,1), (2,-1,-2), (3,-6,6)$ 為此長方體中與 $O$ 相鄰的三頂點。若平面 $E : x + by + cz = d$ 將此長方體截成兩部分，其中包含頂點 $O$ 的那一部分是個正立方體，則 $(b,c,d) = ($ ____ , ____ , ____ $)$。
詳解
1. 設與 $O$ 相鄰的三個向量分別為：
$$\overset{\large\rightharpoonup}{v_1} = (2, 2, 1),\ \left|\overset{\large\rightharpoonup}{v_1}\right| = 3$$
$$\overset{\large\rightharpoonup}{v_2} = (2, -1, -2),\ \left|\overset{\large\rightharpoonup}{v_2}\right| = 3$$
$$\overset{\large\rightharpoonup}{v_3} = (3, -6, 6),\ \left|\overset{\large\rightharpoonup}{v_3}\right| = 9$$
這三個向量互相垂直，構成一個 $3 \times 3 \times 9$ 的長方體。
2. 欲截出包含 $O$ 的正立方體（邊長為 $3$），其平面 $E$ 必須垂直第三條稜線 $\overset{\large\rightharpoonup}{v_3}$，且距離 $O$ 為 $3$。
因此，平面 $E$ 的法向量平行於 $\overset{\large\rightharpoonup}{v_3} = (3, -6, 6) \parallel (1, -2, 2)$。
設平面 $E$ 方程式為：
$$x - 2y + 2z = d$$
平面通過點 $P_3 = \dfrac{1}{3}\overset{\large\rightharpoonup}{v_3} = (1, -2, 2)$，代入得：
$$1 - 2(-2) + 2(2) = 9 \implies d = 9$$
故平面為 $x - 2y + 2z = 9$，對照 $x + by + cz = d$ 可得：
$$(b, c, d) = (-2, 2, 9)$$
題目來源：民國97年學測數學 第17題（來源PDF第6頁）
資料版本：2026-07-21（commit bde62541）
校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。
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引用本站：大考雷達站，〈97學測數學選填第17題詳解〉，資料版本 2026-07-21，https://twmath.com/questions/097_02M_q17
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