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089_02M_q06
89 學測數學 第 6 題
📅 89 年
📝 學測數學
第 6 題
題型：單選
課綱：99課綱
在 $1999$ 年 $6$ 月 $1$ 日數學家利用超級電腦驗證出 $2^{6972593}-1$ 是一個質數。若想要列印出此質數至少需要多少張 A4 紙？假定每張 A4 紙，可列印出 $3000$ 個數字。在下列選項中，選出最接近的張數。（$\log_{10} 2 \approx 0.3010$）
$50$
$100$
$200$
$500$
$700$
指數與對數初步
指數對數
指數與對數
解題手法
公式代入
〔AI 推測〕
答案
(5)
詳解
首先計算質數 $2^{6972593} - 1$ 的位數。 設 $x = 2^{6972593}$，對其取以 $10$ 為底的對數： $$\log_{10} x = 6972593 \times \log_{10} 2 \approx 6972593 \times 0.3010 = 2098750.493$$ 因為 $\log_{10} x$ 的整數部分為 $2098750$，所以 $x$ 是一個 $2098751$ 位數。 而 $2^{6972593} - 1$ 與 $2^{6972593}$ 的位數相同，也是 $2098751$ 位數。 已知每張 A4 紙可列印 $3000$ 個數字，故所需張數為： $$\text{張數} = \frac{2098751}{3000} \approx 699.58 \text{ 張}$$ 最接近的選項為 $700$。 故選 $(5)$。
題目來源：
大學入學考試中心公開試題。
解析狀態：
本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。