89學測數學單選第6題詳解

1. 首先計算質數 $2^{6972593} - 1$ 的位數。 因為要計算質數 $2^{6972593}-1$ 的位數，所以設 $x = 2^{6972593}$，對其取以 $10$ 為底的對數： $$\log_{10} x = 6972593 \times \log_{10} 2 \approx 6972593 \times 0.3010 = 2098750.493$$ 因為 $\log_{10} x$ 的整數部分為 $2098750$，所以 $x$ 是一個 $2098751$ 位數。 2. 而 $2^{6972593} - 1 與 $2^{6972593}$ 的位數相同，也是 $2098751$ 位數。 3. 已知每張 A4 紙可列印 $3000$ 個數字，故所需張數為： $$\text{張數} = \frac{2098751}{3000} \approx 699.58 \text{ 張}$$ 最接近的選項為 $700$。 故選 $(5)$。