以東西向馬路為直線 $L$，建立平面直角坐標系。 設阿山家 $D$ 點的坐標為 $(0, 2a)$。 由題意可知，$A, B, C$ 三點到焦點 $D(0, 2a)$ 的距離，等於它們到直線 $L$（準線）的距離。 根據拋物線的幾何定義，到一焦點與到一準線等距離的點軌跡為拋物線，故 $(5)$ 正確。 此拋物線以 $D(0, 2a)$ 為焦點，$x$ 軸（馬路 $L$）為準線。頂點為 $A(0, a)$，焦距為 $a$。 拋物線方程式為： $$x^2 = 4a(y-a)$$ 對於 $C$ 點：因為是向正東走 $c$ 再向南走 $c$，故 $C$ 的坐標為 $(c, c)$。 將 $(c,c)$ 代入拋物線方程式： $$c^2 = 4a(c-a) \implies c^2 - 4ac + 4a^2 = 0 \implies (c-2a)^2 = 0 \implies c = 2a$$ 故 $(1)$ 正確。 對於 $B$ 點：在直角三角形 $\Delta DBH$ 中（$\angle BDH = 45^\circ$，$\overline{DB} = b$）。 其垂直方向投影距離為 $\overline{DH} = b\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}b$。 因此 $B$ 點的 $y$ 坐標為 $2a - \frac{\sqrt{2}}{2}b$。又 $B$ 到馬路的垂直距離為其 $y$ 坐標 $b$，故： $$b = 2a - \frac{\sqrt{2}}{2}b \implies b\left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2a \implies b = 2(2-\sqrt{2})a \approx 1.17a$$ 因此，我們得到 $a < 1.17a < 2a \implies a < b < c$，故 $(2)$ 正確。 而由計算可知 $b \approx 1.17a \neq \sqrt{2}a$，且 $A, B, C, D$ 四點不共圓。 故正確選項為 $(1)(2)(5)$。