100學測數學選填第19題詳解

1. 拋物線 $E_2$：焦點 $(3,0)$、準線 $x = -3$，因為頂點為焦點與準線的中點 $(0,0)$，焦參數 $p = 6$，所以方程式為 $y^2 = 12x$。 2. $E_1$ 與 $E_2$ 的交點在直線 $x = 3$ 上。代入 $x = 3$ 到 $E_2$：$y^2 = 36$，得交點為 $(3, 6)$ 與 $(3, -6)$。 3. 橢圓 $E_1$：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $c = 3$（焦點在 $(\pm 3, 0)$），所以 $b^2 = a^2 - 9$。 4. 將交點 $(3, 6)$ 代入 $E_1$： $$\frac{9}{a^2} + \frac{36}{a^2 - 9} = 1.$$ 5. 令 $u = a^2$，通分： $$\frac{9(u-9) + 36u}{u(u-9)} = 1 \implies 45u - 81 = u^2 - 9u \implies u^2 - 54u + 81 = 0.$$ 6. 解 $u^2 - 54u + 81 = 0$： $$u = \frac{54 \pm \sqrt{54^2 - 4 \cdot 81}}{2} = \frac{54 \pm \sqrt{2916 - 324}}{2} = \frac{54 \pm \sqrt{2592}}{2} = \frac{54 \pm 36\sqrt{2}}{2} = 27 \pm 18\sqrt{2}.$$ 因為 $a^2 > c^2 = 9$，取 $u = 27 + 18\sqrt{2}$。 7. 因為 $27 + 18\sqrt{2} = 9(3 + 2\sqrt{2}) = 9(\sqrt{2} + 1)^2 = (3(\sqrt{2} + 1))^2 = (3 + 3\sqrt{2})^2$，所以 $a = 3 + 3\sqrt{2}$。 故填 $3+3\sqrt{2}$。