100 學測數學第 19 題

Question

設 $E_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（其中 $a>0$）為焦點在 $(3,0),(-3,0)$ 的橢圓；$E_2$：焦點在 $(3,0)$ 且準線為 $x=-3$ 的拋物線。已知 $E_1,E_2$ 的交點在直線 $x=3$ 上，則 $a=$ ____。

Accepted Answer

答案：$3+3\sqrt{2}$
拋物線 $E_2$ 頂點在原點，$y^2=12x$；在 $x=3$ 處 $y^2=36$，交點為 $(3,\pm6)$。
橢圓 $E_1$：$c=3$，$b^2=a^2-9$。將 $(3,6)$ 代入：
$$\dfrac{9}{a^2}+\dfrac{36}{a^2-9}=1$$
令 $u=a^2$：$9(u-9)+36u=u(u-9)\Rightarrow u^2-54u+81=0\Rightarrow u=27+18\sqrt2$（取較大根）。
因 $27+18\sqrt2=(3+3\sqrt2)^2$，故 $a=3+3\sqrt2$。