88學測數學多選第7題詳解

設動點為 $P(x,y)$。根據橢圓的幾何定義，到兩定點的距離之和為定值，即 $PF_1 + PF_2 = 2a$。 對照方程式可得： - 兩焦點為 $F_1(1,2)$ 與 $F_2(-1,-2)$，故 $(2)$ 正確。 - 長軸長 $2a = 6 \implies a = 3$。 - 焦距長 $2c = \overline{F_1F_2} = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \implies c = \sqrt{5}$。 逐一檢查選項： - $(1)$ 正確：橢圓的中心為兩焦點的中點，即 $\frac{F_1 + F_2}{2} = (0,0)$。 - $(3)$ 正確：由關係式 $b^2 = a^2 - c^2 = 9 - 5 = 4 \implies b = 2$，故短軸長 $2b = 4$。 - $(4)$ 錯誤：橢圓的對稱軸為長軸所在直線與短軸所在直線。長軸為通過兩焦點的直線 $y = 2x$，短軸為與其垂直且過中心的直線 $y = -\frac{1}{2}x$，皆非 $x=y$。 - $(5)$ 正確：橢圓必對稱於兩焦點的連線（長軸所在的直線 $y=2x$）。 故選 $(1)(2)(3)(5)$。