100 學測數學第 18 題

Question

一礦物內含 $A$、$B$、$C$ 三種放射性物質，放射出同一種輻射。已知 $A$、$B$、$C$ 每公克分別會釋放出 $1$ 單位、$2$ 單位、$1$ 單位的輻射強度，又知 $A$、$B$、$C$ 每過半年其質量分別變為原來質量的 $\dfrac12$、$\dfrac13$、$\dfrac14$ 倍。於一年前測得此礦物的輻射強度為 $66$ 單位，而半年前測得此礦物的輻射強度為 $22$ 單位，且目前此礦物的輻射強度為 $8$ 單位，則目前此礦物中 $A$、$B$、$C$ 物質之質量分別為 ____、____、____ 公克。

Accepted Answer

答案：$4$，$1$，$2$
設目前 $A,B,C$ 質量為 $a,b,c$。目前輻射 $a+2b+c=8$。
半年前質量為 $2a,3b,4c$：$2a+6b+4c=22\Rightarrow a+3b+2c=11$。
一年前質量為 $4a,9b,16c$：$4a+18b+16c=66\Rightarrow 2a+9b+8c=33$。
由前兩式相減得 $b+c=3$；再消去得 $5b+6c=17$，解得 $c=2,\ b=1,\ a=4$。
故目前 $A,B,C$ 質量分別為 $4,1,2$ 公克。