89 學測數學第 13 題

Question

設三次方程式 $x^3 - 17x^2 + 32x - 30 = 0$ 有兩複數根 $a+i$，$1+bi$，其中 $a, b$ 是不為 $0$ 的實數。試求它的實根。答：$\underline{\hspace{2em}}$。

Accepted Answer

答案：15
因為方程式的係數皆為實數，由實係數多項式的虛根共軛定理可知，虛根必成雙出現。
已知的兩複數根 $a+i$ 與 $1+bi$ 必須互為共軛複數：
$$a = 1, \  b = -1$$
所以兩虛根分別為 $1+i$ 與 $1-i$。
設方程式的第三個實根為 $\alpha$。根據根與係數關係，三根之和為：
$$(1+i) + (1-i) + \alpha = 17 \implies 2 + \alpha = 17 \implies \alpha = 15$$
故方程式的實根為 $15$。