89 學測數學第 14 題

Question

空間中有一直線 $L$ 與平面 $E: x+2y+3z=9$ 垂直。試求通過點 $(2,-3,4)$ 且與直線 $L$ 垂直的平面方程式。答：$x+2y+3z = \underline{\hspace{2em}}$。

Accepted Answer

答案：8
因為直線 $L$ 與平面 $E: x+2y+3z=9$ 垂直，所以 $L$ 的方向向量平行於 $E$ 的法向量 $(1,2,3)$。
又所求之平面與直線 $L$ 垂直，故所求平面的法向量也平行於 $(1,2,3)$，故可設所求平面方程式為：
$$x+2y+3z = k$$
將通過點 $(2,-3,4)$ 代入方程式，得：
$$2 + 2(-3) + 3(4) = 2 - 6 + 12 = 8 \implies k = 8$$
因此平面方程式為 $x+2y+3z = 8$。答案格應填 $8$。