89大學聯考數學（自然組）單選第3題詳解

1. 設 $48$ 個學生的分數為 $x_i$ ($i=1\sim 48$)，更正前平均為 $70$ 分，標準差 $S = 5$ 分。 2. 更正後的分數總和變化為： $$\sum_{i=1}^{48} x'_i = \sum_{i=1}^{48} x_i - 50 - 100 + 80 + 70 = \sum_{i=1}^{48} x_i$$ 所以更正後的平均數仍為 $\bar{x}' = 70$ 分。 3. 更正後的分數平方和變化為： $$\sum_{i=1}^{48} (x'_i)^2 = \sum_{i=1}^{48} x_i^2 - 50^2 - 100^2 + 80^2 + 70^2 = \sum_{i=1}^{48} x_i^2 - 1200$$ 4. 因此更正後的標準差平方 $S_1^2$ 為： $$S_1^2 = \frac{1}{48}\sum_{i=1}^{48} (x'_i)^2 - (\bar{x}')^2 = \frac{1}{48}\left(\sum_{i=1}^{48} x_i^2 - 1200\right) - 70^2 = S^2 - \frac{1200}{48} = S^2 - 25$$ 5. 因為 $S = 5$： $$S_1^2 = 5^2 - 25 = 0 \implies S_1 = 0$$ 6. 所以 $S_1 = 0 < S = 5$。又 $S - 5 = 5 - 5 = 0$，故滿足 $S - 5 \le S_1 < S$。 答案選 $(2)$。