90學測數學多選第9題詳解

雙曲線 $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{4} = 1$ 的中心在原點，其漸近線方程式為 $5y = 2x$ 與 $5y = -2x$，漸近線斜率為 $\pm 0.4$。 考慮通過原點的直線 $y = mx$：若 $|m| \ge 0.4$，此直線位於雙曲線兩支之間，與雙曲線無交點。 $(1)$ 正確：$5y = 2x \implies y = 0.4x$ 為漸近線，不相交。 $(2)$ 正確：$5y = 3x \implies y = 0.6x$ 的斜率為 $0.6 > 0.4$，不相交。 $(3)$ 錯誤：直線 $5y = 2x + 1$ 與雙曲線左支相交於點 $(-25.25, -9.9)$。 $(4)$ 正確：$5y = -2x \implies y = -0.4x$ 為漸近線，不相交。 $(5)$ 錯誤：水平線 $y = 100$ 與左右雙曲線兩支各交於一點。 故正確選項為 $(1)(2)(4)$。