89學測數學多選第8題詳解

1. 因為雙曲線的兩焦點為 $F_1(-1,1)$ 與 $F_2(3,1)$，且焦點的 $y$ 坐標相同，所以中心為 $O(1,1)$，此雙曲線為左右型雙曲線。 焦距 $2c = 3 - (-1) = 4 \implies c = 2$。 2. 設雙曲線方程式為： $$\frac{(x-1)^2}{a^2} - \frac{(y-1)^2}{b^2} = 1$$ 3. 已知雙曲線通過點 $P(3,4)$，代入得： $$\frac{(3-1)^2}{a^2} - \frac{(4-1)^2}{b^2} = 1 \implies \frac{4}{a^2} - \frac{9}{b^2} = 1$$ 又根據雙曲線性質 $c^2 = a^2 + b^2 = 4 \implies b^2 = 4 - a^2$。 代入上式解聯立得 $a^2 = 1$，$b^2 = 3$（$a^2=16$ 因大於 $c^2$ 而不合）。 雙曲線方程式為： $$\frac{(x-1)^2}{1} - \frac{(y-1)^2}{3} = 1$$ 將選項中的點分別代入方程式檢驗，可知選項 $(2)(3)(4)$ 的點也在雙曲線上。 故正確選項為 $(2)(3)(4)$。