根據題意，機器狗的移動規律以 $5$ 秒為一個週期（前進 $3$ 步再後退 $2$ 步），每週期淨前進 $1$ 步。 在第一週期內，其位置分別為： $P(0)=0$，$P(1)=1$，$P(2)=2$，$P(3)=3$，$P(4)=2$，$P(5)=1$。 由此可推得規律：對於任意非負整數 $t$， $P(5t+k) = t + P(k)$，其中 $k \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$。 逐一檢驗選項： - $(1)$ $P(3) = 3$，正確。 - $(2)$ $P(5) = 1$，正確。 - $(3)$ $P(10) = P(5 \times 1 + 5) = 1 + P(5) = 1 + 1 = 2$，正確。 - $(4)$ $P(101) = P(5 \times 20 + 1) = 20 + P(1) = 20 + 1 = 21$，正確。 - $(5)$ $P(103) = P(5 \times 20 + 3) = 20 + P(3) = 20 + 3 = 23$，$P(104) = P(5 \times 20 + 4) = 20 + P(4) = 20 + 2 = 22$，故 $P(103) > P(104)$，錯誤。 故選 $(1)(2)(3)(4)$。