91指考數學甲多選第4題詳解

設兩橢圓皆以原點為中心，且長軸、短軸長度分別相等。若 $P$ 是兩橢圓的一個交點，則 $-P$ 也同時在兩橢圓上，所以四個交點可配成兩組關於原點對稱的對頂點。依反時鐘順序連成四邊形時，兩條對角線都以原點為中點，因此此四邊形一定是平行四邊形，選項 $(3)$ 正確。 又兩橢圓可視為同一組長、短半軸的橢圓繞原點旋轉所得。兩橢圓方程相減後，可得交點所在的兩條過原點直線互相垂直，所以四邊形的兩條對角線互相垂直。平行四邊形若對角線互相垂直，則為菱形，選項 $(4)$ 正確。 長與寬不等的長方形雖為平行四邊形，但其對角線不互相垂直，因此本題四邊形不可能是長與寬不等的長方形，選項 $(2)$ 正確。 但菱形不一定是正方形，故選項 $(1)$ 錯誤。 故選 $(2)(3)(4)$。