91指考數學甲選填第11題詳解

設等腰三角形的三個頂點為 $A(0,2)$、 $B(-\frac{1}{n},0)$、$C(\frac{1}{n},0)$。 因為外接圓的圓心 $T$ 必落在對稱軸（即 $y$ 軸）上，故可設其坐標為 $(0, t)$。利用外接圓圓心到頂點的距離相等（$\overline{TA} = \overline{TC}$）的性質： $$\overline{TA}^{\,2} = \overline{TC}^{\,2} \implies (t - 2)^2 = \left(\dfrac{1}{n} - 0\right)^2 + (0 - t)^2$$ $$t^2 - 4t + 4 = \dfrac{1}{n^2} + t^2$$ $$-4t + 4 = \dfrac{1}{n^2} \implies 4t = 4 - \dfrac{1}{n^2} \implies t = 1 - \dfrac{1}{4n^2}$$ 因此，外接圓的半徑 $R$ 為： $$R = \overline{TA} = |2 - t| = 2 - \left(1 - \dfrac{1}{4n^2}\right) = 1 + \dfrac{1}{4n^2}$$ 外接圓的直徑 $D_n = 2R = 2 + \dfrac{1}{2n^2}$。求當 $n \to \infty$ 時的極限值： $$\lim_{n \to \infty} D_n = \lim_{n \to \infty} \left(2 + \dfrac{1}{2n^2}\right) = 2$$ 故答案為 $2$。