設 $\Delta ABC$ 中 $BC$ 邊上的高為 $h$，底邊 $BC$ 的長為 $b$。 由於矩形 $PQRS$ 的長 $SR = PQ = 12$、寬 $QR = PS = 5$，且頂點 $S, R$ 分別在 $AB, AC$ 上。 因此，頂部的小等腰三角形 $\Delta ASR$ 的高為 $h - 5$，底邊為 $SR = 12$。 由相似三角形性質，$\Delta ASR \sim \Delta ABC$，對應的底與高成比例： $$\dfrac{h - 5}{h} = \dfrac{12}{b} \implies b = \dfrac{12h}{h - 5}$$ $\Delta ABC$ 的面積公式為： $$\text{Area} = \dfrac{1}{2} b h = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{12h}{h - 5}\right) h = \dfrac{6h^2}{h - 5}$$ 為了求得面積的最小值（其中 $h > 5$），我們對函數 $f(h) = \dfrac{h^2}{h - 5}$ 求導： $$f'(h) = \dfrac{2h(h - 5) - h^2}{(h - 5)^2} = \dfrac{h^2 - 10h}{(h - 5)^2}$$ 令 $f'(h) = 0$，得 $h(h - 10) = 0$。因為 $h > 5$，故唯一合理的極值點為 $h = 10$。 當 $5 < h < 10$ 時 $f'(h) < 0$，當 $h > 10$ 時 $f'(h) > 0$，故當高 $h = 10$ 時，$\Delta ABC$ 的面積最小。 答案為 $10$。