91指考數學甲選填第10題詳解

在坐標平面上繪製不等式所代表的區域： 1. 不等式 $|x| + |y| \le 2$ 代表一個正方形區域，頂點分別為 $(2,0)$、 $(0,2)$、 $(-2,0)$、 $(0,-2)$。中心點為 $(0,0)$，邊長為 $2\sqrt{2}$。 2. 不等式 $|x| + |y-1| \le 2$ 代表將上述正方形沿 $y$ 軸向上平移 $1$ 單位所得的區域，其中心點為 $(0,1)$，頂點為 $(2,1)$、 $(0,3)$、 $(-2,1)$、 $(0,-1)$。 3. 聯立不等式之解區域為這兩個正方形的重疊部分： - 上邊界由 $y = 2 - |x|$ 控制。 - 下邊界由 $y = |x| - 1$ （平移後正方形的下邊界）控制。 - 計算左右兩側交點：令 $2 - |x| = |x| - 1 \implies 2|x| = 3 \implies |x| = \dfrac{3}{2}$，即交點為 $(\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2})$ 與 $(-\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2})$。 這個重疊區域為一個對稱的菱形，其對角線分別為： - 水平對角線長度為 $\dfrac{3}{2} - \left(-\dfrac{3}{2}\right) = 3$。 - 垂直對角線長度（即上頂點 $(0,2)$ 到下頂點 $(0,-1)$ 距離）為 $2 - (-1) = 3$。 因此，該重疊區域的面積為： $$\text{面積} = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 3 = \dfrac{9}{2}$$ 故答案為 $\dfrac{9}{2}$。