設袋中的黑球有 $n$ 個。因為袋中有 $7$ 個白球，故袋中球的總數為 $n + 7$ 個。 從袋中一次取出兩個球，總共有 $C^{n+7}_2$ 種可能拿法。 取出兩球同為白球的可能拿法有 $C^7_2 = \dfrac{7 \times 6}{2} = 21$ 種。 依題意，取出兩球同為白球的機率為 $\dfrac{7}{22}$，即： $$\dfrac{C^7_2}{C^{n+7}_2} = \dfrac{7}{22} \implies \dfrac{21}{\frac{(n+7)(n+6)}{2}} = \dfrac{7}{22}$$ $$\dfrac{42}{(n+7)(n+6)} = \dfrac{7}{22}$$ 兩邊同除以 $7$ 得： $$\dfrac{6}{(n+7)(n+6)} = \dfrac{1}{22} \implies (n+7)(n+6) = 132$$ $$n^2 + 13n + 42 = 132 \implies n^2 + 13n - 90 = 0$$ 對其因式分解： $$(n - 5)(n + 18) = 0$$ 解得 $n = 5$ 或 $n = -18$（負值不合）。因此，袋中有 $5$ 個黑球。