91指考數學甲非選第13題詳解

令 $f(x) = 3x^4 - 4mx^3 + 1$。若方程式 $f(x) = 0$ 無實根，代表對任意實數 $x$，$f(x)$ 恆大於 $0$（因為當 $x \to \pm\infty$ 時，$f(x) \to \infty$）。 我們利用導數來求 $f(x)$ 的最小值： $$f'(x) = 12x^3 - 12mx^2 = 12x^2(x - m)$$ 討論 $m$ 的值： 1. 當 $m = 0$ 時： $f'(x) = 12x^3$。在 $x < 0$ 時 $f'(x) < 0$（遞減），在 $x > 0$ 時 $f'(x) > 0$（遞增）。因此 $f(x)$ 在 $x = 0$ 處取得最小值 $f(0) = 1 > 0$。此時方程式無實根，故 $m = 0$ 成立。 2. 當 $m \ne 0$ 時： - 當 $m > 0$ 時，$f'(x)$ 的變號點在 $x = m$。在 $x < m$ 時 $f'(x) \le 0$，在 $x > m$ 時 $f'(x) > 0$。因此 $f(x)$ 的最小值為 $f(m)$。 - 當 $m < 0$ 時，$f'(x)$ 的變號點在 $x = m$。在 $x < m$ 時 $f'(x) < 0$，在 $x > m$ 時 $f'(x) \ge 0$。因此 $f(x)$ 的最小值亦為 $f(m)$。 不論 $m > 0$ 或 $m < 0$，其最小值皆為 $f(m)$。若 $f(x) = 0$ 無實根，則其最小值 $f(m)$ 必須大於 $0$： $$f(m) = 3m^4 - 4m(m^3) + 1 > 0 \implies -m^4 + 1 > 0 \implies m^4 - 1 < 0$$ $$(m^2 + 1)(m^2 - 1) < 0 \implies (m^2 + 1)(m - 1)(m + 1) < 0$$ 因為對任意實數 $m$，$m^2 + 1 > 0$ 恆成立，所以： $$(m - 1)(m + 1) < 0 \implies -1 < m < 1$$ 結合第 1 點 $m = 0$ 亦成立，故所求 $m$ 的範圍為 $-1 < m < 1$。