91指考數學乙選填第3題詳解

設原本薪水為 $A$，每年調薪 $a\%$，則經過 $10$ 年調薪後，薪水變為 $A(1 + 0.01a)^{10}$。 若希望第 $11$ 年開始薪水加倍，則必須滿足： $$A(1 + 0.01a)^{10} \ge 2A \implies (1 + 0.01a)^{10} \ge 2$$ 兩邊取以 $10$ 為底的對數： $$\log(1 + 0.01a)^{10} \ge \log 2$$ $$10 \log(1 + 0.01a) \ge 0.3010 \implies \log(1 + 0.01a) \ge 0.03010$$ 查題目所附之對照表： - 當 $x = 7$ 時，$\log(1 + 0.01 \times 7) = 0.0294 < 0.03010$ - 當 $x = 8$ 時，$\log(1 + 0.01 \times 8) = 0.0334 \ge 0.03010$ 因此，欲使不等式成立，整數 $a$ 的最小值為 $8$。