92指考數學乙多選第6題詳解

答案為 $(2)$。 $(1)$ 錯誤：在 $\triangle ACD$ 中，因為 $BD$ 不是 $\angle ADC$ 的角平分線，所以 $\alpha\ne\beta$。 $(2)$ 正確：在 $\triangle BCD$ 中，$\tan\alpha=\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}$；在 $\triangle ACE$ 中，$\tan(\alpha'+\beta')=\dfrac{20}{30}=\dfrac{2}{3}$。又 $\alpha$ 與 $\alpha'+\beta'$ 都是銳角，所以 $\alpha=\alpha'+\beta'$。 $(3)$ 錯誤：在 $\triangle BCE$ 中，$\tan\alpha'=\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3}$，所以 $\tan 2\alpha'=\dfrac{2\cdot\frac{1}{3}}{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2}=\dfrac{3}{4}$；而 $\tan\alpha=\dfrac{2}{3}$，故 $2\alpha'\ne\alpha$。 $(4)$ 錯誤：在 $\triangle ACD$ 中，$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{20}{15}=\dfrac{4}{3}<\sqrt{3}$，所以 $\alpha+\beta<\dfrac{\pi}{3}$。 $(5)$ 錯誤：由 $(2)$，$\alpha=\alpha'+\beta'$，故 $\tan(\alpha'+\beta')=\tan\alpha=\dfrac{2}{3}>\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，所以 $\alpha'+\beta'>\dfrac{\pi}{6}$。