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92 指考數學乙 第 7 題
📅 92 年 📝 指考數學乙 第 7 題 題型:多選 課綱:99課綱
陳老師證明了 $x^2=2^x$ 有兩個正實數解及一個負實數解後,進一步說,此方程式兩邊各取 $\log_2$,得 $2\log_2 x=x$;陳老師要同學討論此新的方程式有多少實數解? 小英說:恰有三個實數解; 小明說:恰有兩個正實數解; 小華說:最多只有兩個實數解; 小毛說:仍然有兩個正實數解及一個負實數解; 小芬說:沒有實數解。 請問哪些人說的話,可以成立?
  1. 小英:恰有三個實數解
  2. 小明:恰有兩個正實數解
  3. 小華:最多只有兩個實數解
  4. 小毛:仍然有兩個正實數解及一個負實數解
  5. 小芬:沒有實數解
指數方程式對數函數圖形指數對數指數與對數
解題手法數形結合〔AI 推測〕
答案

$(2)(3)$

原方程式 x²=2ˣ 有三個實數解(x=2, x=4, x≈-0.767)。取 log₂ 後得 2log₂x = x(x>0),失去負數解,只剩兩個正實數解(x=2, x=4)。小華說最多兩個(正確),小明說恰有兩個正實數解(正確)。;官方答案表已對照。

詳解
原方程式 $x^2=2^x$。 令 $f(x)=x^2-2^x$。$f(2)=4-4=0$,$f(4)=16-16=0$,故 $x=2,4$ 為解。又 $f(-1)=1-\frac{1}{2}>0$,$f(0)=0-1<0$,中間值定理保證 $(-1,0)$ 間有一負根。繪圖可知恰有三個實數解:$x\approx-0.767$, $x=2$, $x=4$。 取 $\log_2$ 得 $2\log_2 x = x$。此時 $x>0$(定義域限制),失去負根,僅保留 $x=2,4$ 兩個正實數解。 - 小英:三個 → ✗(失去負根) - 小明:兩個正實數解 → ✓ - 小華:最多兩個 → ✓(確實只有兩個) - 小毛:仍有兩個正及一個負 → ✗(無負根) - 小芬:無實數解 → ✗ 故選 $(2)(3)$。

題目來源:大學入學考試中心公開試題。

解析狀態:本解析由 AI 輔助產出,未經人工審核,非官方詳解,僅供學習參考。如與官方公告不同,請以官方公告為準。