92指考數學乙多選第8題詳解

指標等價於連續 $7$ 天資料的最大值不超過 $5$。 $(1)$ 平均數 $\le 3$ 不能保證。例如 $\{0,0,0,0,0,0,21\}$，平均數為 $3$，但最大值為 $21$。 $(2)$ 標準差 $\le 1$ 不能保證。例如 $\{5,5,5,5,5,5,6\}$ 的標準差小於 $1$，但最大值為 $6$。 $(3)$ 平均數 $\le 3$ 且標準差 $\le 2$ 仍不能保證。例如 $\{0,0,0,0,0,0,6\}$，平均數小於 $3$，標準差小於 $2$，但最大值為 $6$。 $(4)$ 若平均數 $\le 3$ 且全距 $\le 2$，假設最大值 $x_{\max}>5$，則最小值 $x_{\min}>3$，因此平均數也會大於 $3$，矛盾。故必有 $x_{\max}\le 5$。 $(5)$ 若眾數為 $1$，則資料中至少有一個 $1$，所以最小值 $x_{\min}\le 1$。又全距 $\le 4$，故 $x_{\max}\le x_{\min}+4\le 5$。 因此符合指標的是 $(4)(5)$。