98指考數學乙多選第4題詳解

由題意知，智商測驗的資料分布呈常態分配，其平均數 $\mu = 100$，標準差 $\sigma = 15$。 根據常態分配的經驗法則（$68\%-95\%-99.7\%$ 規則）： - 數據介於 $\mu \pm \sigma$（即 $85$ 至 $115$）的比例約為 $68\%$。 - 數據介於 $\mu \pm 2\sigma$（即 $70$ 至 $130$）的比例約為 $95\%$。 - 超過 $\mu + 2\sigma$（即 $130$ 以上）的比例約為： $$\dfrac{100\% - 95\%}{2} = 2.5\%$$ 以下逐一分析各選項： 選項 $(1)$：資優生門檻為 $130$ 以上，通過門檻的比例約為 $2.5\%$，非 $5\%$，故此選項錯誤。 選項 $(2)$：常態分配具對稱性，大於平均數 $100$ 的比例為 $50\%$。全體有 $30$ 萬人，智商在 $100$ 以上的人數約為： $$30\text{ 萬} \times 50\% = 15\text{ 萬人}$$ 故此選項正確。 選項 $(3)$：智商介於 $85$ 至 $115$ 之間的比例約為 $68\%$，人數約為： $$30\text{ 萬} \times 68\% = 20.4\text{ 萬人}$$ 大於 $20$ 萬人，故此選項正確。 選項 $(4)$：隨機抽出 $1000$ 名學生，每人為資優生的機率為 $2.5\%$。資優生人數的期望值為： $$E = 1000 \times 2.5\% = 25\text{ 人}$$ 故此選項正確。 選項 $(5)$：雖然單一學生為資優生的機率極低，但該校有 $14$ 名學生時，至少有一名資優生的機率為： $$1 - (1 - 0.025)^{14} \approx 1 - 0.702 = 0.298\ (29.8\% > 0)$$ 因此不能斷定該校「不會有」資優生，故此選項錯誤。 由此可知，正確選項為 $(2)$、$(3)$、$(4)$。