92學測數學補考多選第9題詳解

$C$ 過 $(-1,6)$ 和 $(3,6)$，兩點 $y$ 坐標相同，故對稱軸為 $x=\dfrac{-1+3}{2}=1$。 設 $C: y = a(x-1)^2 + k$（對稱軸平行 $y$ 軸）。 代入 $(-1,6)$：$6 = a(-2)^2 + k = 4a + k \implies k = 6-4a$。 $(1)$ $C$ 與 $x$ 軸（$y=0$）相交需 $a(x-1)^2 + 6-4a = 0$ 有解。若 $a>0$ 且 $k>0$，則無解。不一定。 $(2)$ $x=0$ 時 $y = a(1)^2 + k = a + 6 - 4a = 6-3a$，必有交點。正確 $(3)$ 過 $(2,5)$：$5 = a(1)^2 + k = a + 6 - 4a = 6-3a \implies a=\dfrac{1}{3}, k=\dfrac{14}{3}$。 $y=5$ 時 $\dfrac{1}{3}(x-1)^2 + \dfrac{14}{3} = 5 \implies (x-1)^2 = 1 \implies x=0$ 或 $2$。$r=0 \neq 2$ 存在。正確 $(4)$ 過 $(4,8)$：$8 = a(3)^2 + k = 9a + 6 - 4a = 5a + 6 \implies a=\dfrac{2}{5}, k=\dfrac{22}{5}$。 $x=4$ 代入：$y = \dfrac{2}{5}(3)^2 + \dfrac{22}{5} = \dfrac{18+22}{5} = 8$。唯一，不存在 $s \neq 8$。錯誤 $(5)$ 過 $(0,3)$：$3 = a(1)^2 + k = a + 6 - 4a = 6-3a \implies a=1, k=2$。 頂點為 $(1,2)$，$y$ 坐標 $=2$。正確 故選 $(2)(3)(5)$。